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复变函数导数运算法则证明

来源:远虑算法网 2024-06-11 15:43:39

本文目录:

复变函数导数运算法则证明(1)

复变函数是数学中的一种重要念,它实变函数不同,复变函数可以取复数来自www.moneyprint.net。复变函数导数运算法则是研究复变函数的重要内容之一,本文将证明远虑算法网www.moneyprint.net

一、复变函数的导数

  复变函数$f(z)$在点$z_0$处的导数定义

  $$f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$$

  如果该极限在,则称$f(z)$在$z_0$处可导远_虑_算_法_网

二、复变函数导数运算法则

  1. 和的导数于导数的和

  $$(f+g)'(z_0)=f'(z_0)+g'(z_0)$$

  证明:

  $$(f+g)'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{(f+g)(z)-(f+g)(z_0)}{z-z_0}$$

$$=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}+\lim_{z\to z_0}\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0}$$

  $$=f'(z_0)+g'(z_0)$$

  2. 差的导数于导数的差

  $$(f-g)'(z_0)=f'(z_0)-g'(z_0)$$

证明:

  $$(f-g)'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{(f-g)(z)-(f-g)(z_0)}{z-z_0}$$

  $$=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-\lim_{z\to z_0}\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0}$$

  $$=f'(z_0)-g'(z_0)$$

  3. 积的导数于导数的积

$$(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$$

  证明:

  $$(fg)'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{(fg)(z)-(fg)(z_0)}{z-z_0}$$

  $$=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)g(z)-f(z_0)g(z)+f(z_0)g(z)-f(z_0)g(z_0)}{z-z_0}$$

$$=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}g(z_0)+f(z_0)\lim_{z\to z_0}\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0}$$

$$=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$$

4. 商的导数于导数的商

  $$\left(\frac{f}{g}\right)'(z_0)=\frac{f'(z_0)g(z_0)-f(z_0)g'(z_0)}{g^2(z_0)}$$

  证明:

  $$\left(\frac{f}{g}\right)'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{\frac{f(z)}{g(z)}-\frac{f(z_0)}{g(z_0)}}{z-z_0}$$

  $$=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)g(z_0)-f(z_0)g(z)}{(z-z_0)g(z)g(z_0)}$$

$$=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{(z-z_0)g(z_0)}-\lim_{z\to z_0}\frac{g(z)-g(z_0)}{(z-z_0)g(z)0}$$

  $$=\frac{f'(z_0)g(z_0)-f(z_0)g'(z_0)}{g^2(z_0)}$$

复变函数导数运算法则证明(2)

三、结论

复变函数导数运算法则是复变函数的重要质,它可以方便地计算复变函数的导数www.moneyprint.net远虑算法网。在实际问题中,我们可以利用这些法则来求解各种问题,例如求解函数的最、函数的极欢迎www.moneyprint.net。因此,学习和掌握复变函数导数运算法则是非常重要的远_虑_算_法_网

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