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c语言dp算法

来源:远虑算法网 2024-06-10 00:10:09

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c语言dp算法(1)

  DP(Dynamic Programming)算法,又称动态规划算法,是种常用的算法思想,用于求解些具有重叠子问题和最优子结构性质的问题欢迎www.moneyprint.net。在计算机科学中,DP算法通常用于优递归算法的效率,或者用于解决些需要求解最优解的问题,比如最长公共子序列、背包问题、最短路径问题等。

DP算法的核心思想是将个大问题划分成多个小问题,然后通过求解小问题的最优解来推导出大问题的最优解。这种思想与分治算法类似,但是DP算法用到记忆术,避免重复计算已求解过的子问题,从而提高算法效率。

  在C语言中,DP算法的实现通常需要用到动态数组或者结构体,以便存储中间计算结果和状态转移远.虑.算.法.网。下面我们将以最长公共子序列问题和背包问题为例,介绍C语言中DP算法的实现法和巧。

1. 最长公共子序列问题

  最长公共子序列问题(LCS)是指给定两个序列X和Y,求它们的最长公共子序列。例如,对于序列X={A,B,C,B,D,A,B}和序列Y={B,D,C,A,B,A},它们的最长公共子序列为{B,C,B,A},长度为4。

  LCS问题可以用DP算法求解ulEj。假设X和Y的长度分别为m和n,我们定义个二维数组c[m+1][n+1],其中c[i][j]表示序列X[1..i]和Y[1..j]的最长公共子序列的长度。则LCS问题的状态转移程为:

  c[i][j] = 0, if i=0 or j=0

  c[i-1][j-1]+1, if i,j>0 and X[i]=Y[j]

  max(c[i-1][j],c[i][j-1]), if i,j>0 and X[i]!=Y[j]

  其中,第行和第列的都为0,因为其中个序列为空时,它们的最长公共子序列长度为0。如果X[i]=Y[j],则序列X[1..i]和Y[1..j]的最长公共子序列长度为序列X[1..i-1]和Y[1..j-1]的最长公共子序列长度加上1;则,它们的最长公共子序列长度为序列X[1..i-1]和Y[1..j]的最长公共子序列长度,或者序列X[1..i]和Y[1..j-1]的最长公共子序列长度中的较大

  下面是C语言中LCS问题的DP算法实现代码:

  ```c

#include

  #include

  #define MAXLEN 100

int lcs(char *X, char *Y, int m, int n)

  {

  int c[MAXLEN+1][MAXLEN+1];

  int i, j;

// 初始行和第

  for (i = 0; i <= m; i++)

c[i][0] = 0;

for (j = 0; j <= n; j++)

c[0][j] = 0;

// 计算c[i][j]

  for (i = 1; i <= m; i++) {

for (j = 1; j <= n; j++) {

  if (X[i-1] == Y[j-1])

c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;

else

  c[i][j] = (c[i-1][j] > c[i][j-1]) ? c[i-1][j] : c[i][j-1];

}

  }

  return c[m][n];

  }

  int main()

{

c语言dp算法(1)

  char X[] = "ABCBDAB";

  char Y[] = "BDCABA";

  int m = strlen(X);

  int n = strlen(Y);

int len = lcs(X, Y, m, n);

  printf("LCS length: %d\n", len);

return 0;

  }

  ```

  在这个实现中,我们使用了个二维数组c[m+1][n+1]来存储计算结果来源www.moneyprint.net。首先我们初始行和第列的为0,然后按照状态转移程计算c[i][j]的,最后返回c[m][n]作为最长公共子序列的长度。

2. 背包问题

  背包问题是指给定组物品和个背包,每个物品有个重量和个价,需要选择些物品放入背包中,使得总重量不超过背包容量,同时总价最大。背包问题可以分为01背包问题和完全背包问题两种类型。

  在01背包问题中,每个物品只能选择次,即要么放入背包中,要么不放入来源www.moneyprint.net。在完全背包问题中,每个物品可以选择无限次,即可以放入多个相同的物品。这两种问题都可以用DP算法求解。

  假设有n个物品和个容量为V的背包,我们定义个二维数组f[n+1][V+1],其中f[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价。则01背包问题的状态转移程为:

f[i][j] = f[i-1][j], if w[i]>j

  max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i]), if w[i]<=j

  其中w[i]和v[i]分别表示第i个物品的重量和价远.虑.算.法.网。如果第i个物品的重量w[i]大于背包容量j,则不能选择第i个物品,此时f[i][j]等于前i-1个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价则,可以选择第i个物品,此时f[i][j]等于前i-1个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价,或者前i-1个物品放入容量为j-w[i]的背包中所能获得的最大价加上第i个物品的价v[i],取两者中的较大

完全背包问题的状态转移程与01背包问题类似,只是在选择第i个物品时,可以选择0个、1个、2个……直到j/w[i]个,因此需要用个循环来枚举选择的物品数量。完全背包问题的状态转移程为:

f[i][j] = f[i-1][j], if w[i]>j

  max(f[i-1][j], f[i][j-w[i]]+v[i], f[i][j-2*w[i]]+2*v[i], …, f[i][j-k*w[i]]+k*v[i]), if w[i]<=j

  下面是C语言中01背包问题的DP算法实现代码:

```c

#include

  #include

  #define MAXN 100

  #define MAXV 1000

  int knapsack(int *w, int *v, int n, int V)

  {

  int f[MAXN+1][MAXV+1];

int i, j;

// 初始

  for (j = 0; j <= V; j++)

  f[0][j] = 0;

  // 计算f[i][j]

for (i = 1; i <= n; i++) {

  for (j = 0; j <= V; j++) {

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